基金项目：国家自然科学基金项目(59979005)的部分成果
作者简介：毛野(1946-)，男，教授，主要从事紊流与泥沙运动研究。

水工模型试验仍是研究水流与水工建筑物相互作用的有力工具[1～4]。除正态模型外广泛应用变态模型。工程实践常要求评价水工模型的相似性，一般的定性判断已不能满足要求，亟待进行水工模型相似性的量化研究。

1 水工模型律

1.1 基本控制方程<10.5pt;font-family:宋体'> 模型水流运动和原型水流运动都是水体在重力和粘滞力等力的作用下在一定的边界里运动，都遵循不可压缩粘性流体的连续方程和纳维-斯托克斯方程等基本控制方程：

                                                                                    (1)

                            (2)

式中v、x、v_y、v_z分别为x、y、z轴方向的流速分量；g_x、g_y、g_z分别为x、y、z轴方向的质量力分量；ν为运动粘滞系数；为拉普拉斯算子。

分别考虑原型和模型的流动，对有关变量分别加上脚标p和m以示区别，不难分别写出原型和模型的连续方程和流体运动方程。

1.2 相似准则<10.5pt;font-family:宋体'> 定义某个量ω的原型值与模型值之间的相似常数α_ω为二者的比值或比例尺：

α_ω=ω_p/ω_m                                                                                      (3)

当ω分别为x、y、z、v_x、v_y、v_z、g_x、g_y和g_z等则有相应的单值α_x、α_y、α_z、α_vx、α_vy、α_vz、α_gx、α_gy、α_νz等。

将相应的相似常数关系式代入方程(2)的模型值表达式，若同一个量在不同方向的相似常数相同，可得简化的含相似常数的流体运动方程式，以x方向为例，有：

                    (4)

对于力学相似的流动而言上式中各项系数有相同值^[1]，故由上式可得斯特鲁哈数St、弗劳德数Fr、欧拉数Eu和雷诺数Re等4个相似准数：

St=vt/l,Fr=v²/gl,Eu=p/ρv₂,Re=vl/ν                                 (5)

它们说明了复杂的水流运动同时受多个自然规律的约束。显然，若模型与原型严格相似则4个相似准数的模型值均分别与原型值完全一致。一般水工模型难以同时保持弗劳德数Fr及雷诺数Re与原型一致^[2]，不得不权衡各种作用力而有所取舍，相应地有重力相似准则和阻力相似准则等。以下分析均以遵循重力相似准则为基础。

2 相似模型

将模型与原型相比较，它们多少都会有一些共性，这些客观存在的共性即其相似点；这些相似点的集合构成了模型的相似性。显然，模型与原型的相似点愈多，则相似程度愈高，模型对原型模拟得愈好。水工模型与原型的相似有多种分类方法，涉及几何相似、受力相似和运动相似等方面，亦有正态相似和变态相似之分，二者在某些方面为精确相似，但其它方面则可能是模糊相似。总体而言，水工模型与原型的相似应属模糊相似。

2.1 模型相似元<10.5pt;font-family:宋体'> 模型与原型均可视作系统，系统中多要素的有机组合和共同作用决定了系统的整体特性。系统之间有一个相似要素便在系统之间存在一个相似单元，即相似元^[5]。系统之间的相似程度即相似度，它取决于相似元的数量和各相似元的相似值。按照对相似元相似性的数学分析可以将相似元分为精确相似元和模糊相似元等。

在原型和水工模型之间的相似性可以用十个主要的相似元描述，其中精确相似元有七个，模糊相似元有三个。精确相似元按几何特征有平面相似元、垂向相似元和边界表面粗糙相似元，按物理特征有流体密度相似元、流体粘滞性相似元、压强相似元和流速相似元；模糊相似元为边界整体形状相似元、压强场相似元和流场相似元。

2.2 相似元的相似值<10.5pt;font-family:宋体'> 精确相似元的相似值r为该相似元的特征值的比例系数。例如，水工模型相对于原型的水平几何比尺为α_L=L_p/L_m，其相似值为二者水平几何特征长度的比值，即r=L_m/L_p=1/α_L。当相似元为模糊相似元，相似值r为模糊相似要素的模型特征值的比例系数，介于0与1之间；模糊特征值可根据模糊相似要素的具体情况由隶属度法或模糊评判法^[6]确定。

2.3 模型的相似度η 模型的相似度除了考虑有关相似元的相似值还必须考虑这些相似元各自对模型相似的影响，即特征权数。设m个相似元中第j个相似元的特征权数为d_j，显然有

                                                                                    (6)

结合该相似元的特征相似值，则有模型的相似度η为：

                                                                                (7)

　　显然有0≤η≤1.0，当η=0时两个系统相异，当η=1时两个系统相同，而0<η<1.0时两个系统相似。

3 模型的比尺效应

除非直接进行原型试验，一般模型的模拟不可能得到与原型完全一致的结果^[7]。模型试验的结果受众多参数影响，关键是要抓住本质。有些参数的取值超过相应的临界值后所产生的影响使试验结果发生质的变化，必要时应限制其取值范围。

3.1 缩尺效应 (1)<10.5pt;font-family:宋体'>流态变化。水流的流态主要有层流和紊流，因流态变化水流运动规律明显不同。对模型而言最重要的模拟是流态的模拟，若流态不同模型试验结果不可能正确反映原型状况。例如，在层流区当粘滞力起主要作用时有第一自动模型区，只要保持水流的欧拉数与雷诺数的乘积不变则模型与原型流动相似；在雷诺数较高时存在第二自动模型区即紊流阻力平方区，模型与原型的流动自动相似。一般原型水流为紊流，在进行模型设计时，特别要注意勿因缩尺太严重而使模型水流不处于紊流流态。

(2)表面张力的变化。虽然水流运动始终有表面张力作用，通常模型水流的曲率较小，并不需要考虑表面张力。当模型水流的深度相当小时表面张力作用明显，流速和压强的分布都受到影响，这时不能不考虑表面张力。一般模型水流的深度不得小于1.5cm；若水工模型需要生成波浪，水流的表面流速不能小于0.23m/s^[1～3]。

(3)测量相对精度的变化。模型试验时，由于仪器本身、测量方案设置和测量操作等都不可避免地有误差，测量精度受到影响。模型设计时应当考虑模型本身尺度的变化引起的测量相对精度的变化。例如，针形水位计的量测精度为0.1mm，水流的深度较小时测量的相对误差较大。

3.2 变态效应<10.5pt;font-family:宋体'> 水工定床模型可分为正态模型与变态模型，而变态模型又有几何变态、糙率变态及时间变态等。本文以几何变态为例。原型和模型均为三维尺度的实体，通常以模型的平面比尺与垂向比尺是否相同来划分正态模型和变态模型。定义变态率为ζ=α_L/α_H，几何变态对水工模型的相似性影响深刻，但目前只能对变态效应进行模糊估计。尽管目前对变态效应的认识十分有限，多定性认识，但由于变态模型可在一定程度上克服缩尺效应及避免制作巨大模型而节省可观的投资因而仍然获得广泛应用。根据国内外不完全统计资料^[1]知模型变态率一般不大于5。

(1)边界整体形状的变化。实践表明，水工定床模型的制作精度对模型试验的量测结果有很大影响，要求控制水平方向的制作误差为±10mm，垂直方向的制作误差为±2mm，然而在平面比尺α_L与垂直比尺α_H不同即变态率为ζ时要做到模型微地形的形态与原型相似是相当困难的。图1所示为有关专业人士关于变态率ζ对边界整体形状的模糊估计，具体数值尚待进一步论证。

图1 变态率ζ对边界整体形状、流速场和压强场影响的模糊估计

 (2)流速场与压强场的变化。由恒定非均匀流的基本微分方程引入相似比尺后可得水流流速比尺α_v与垂向比尺α_H的关系及谢才系数比尺α_C与水力半径α_R、水平比尺α_L的关系分别为

α_H=α²_v                                                           (8)
α_L=α²_Cα_R                                                      (9)

可得到适用于变态模型的突出了垂向水深影响的流速比尺α_v=，而正态模型即ζ=1时α_v==。由欧拉数E_u的定义可知p～ρv²，通常原型与模型的密度ρ并无差别，故α_p～α_v²～α_H。

　　水工模型变态时，目前尚无法精确定量估计变态率ζ对流速场和压强场的影响。鉴于变态率ζ愈大对流速场和压强场的影响愈大，现有对该影响的初步模糊估计认为变态的影响使得模型流速场与原型流速场之间的特征相似值与变态率ζ的倒数成反比，则模型压强场与原型压强场之间的特征相似值与变态率ζ倒数的二次方成反比(参见图1)。

(3)边界糙率的变化。由方程(9)并考虑宽线河渠的阻力相似，即谢才系数C比尺

                                                        (10)

再由曼宁公式C=R^1/6/n和C=，其中λ为阻力系数，可得曼宁系数n的比尺为

α_n=α_λ^1/2α_R^1/6=α_H^1/6=α_H^1/6/ζ^1/2=α_H^2/3/α_L^1/2                     (11)

显然，由于水工模型的变态当变态率ζ较大时曼宁系数n比尺反而较小。

4 模型方案分析

某河拟在河槽内筑长为1200m的拦河土坝^[2]，旁设溢流堰长170m，堰顶高程为70.75m。当流量4500m³/s时过堰流量为1000m³/s，其余流量注入新开引河，此时河口水位不应超过73.00m。要求进行水工定床模型试验，研究原型长达5000m的引河段在最大行洪时的分流能力与流态，其纵坡为1/2000、断面为底宽80m、边坡为1∶1.5的梯形、河床糙率系数n=0.033。希望流量为3500m³/s时引河口内水深不超过8m。

4.1 比尺选择<10.5pt;font-family:宋体'> 该水工定床模型可视作宽浅型河道模型。表1为不同几何比尺的正态模型的相似度。表2为定量比较不同变态情况下的模型相似度，考虑到实验室的具体条件，水平几何比尺初定为1∶2000。按六种变态率相应地选择垂向几何比尺后可分别确定水平及垂向几何比尺。表3为变态率ζ=5时水平比尺与垂直比尺作相应变化的模型相似度(上述结果参见图2～4)。由于目前尚难以确定十个相似元中哪些对模型系统的相似度具有更大的影响，姑且认为它们特征权数相同d_j=0.1,(j=1,2,…,10)。

<10.5pt;font-family:宋体'>表1 不同几何比尺的正态模型的模型相似度

4.2 相似度比较

(1)图2为正态模型时不同水平比尺的模型相似度变化趋势。由于正态模型的“边界整体形状”、“压强分布”和“流速分布”相似元的相似值均达一模糊估计最大值，故正态模型均有较高的模型相似度。由图可见小比尺大模型使得“平面XY”、“垂向Y”、“流速”及“压强”等相似元与大比尺小模型相比相似值稍大一些，因而几何比尺增大时模型相似度由55.94%递减到54.06%；该结果还说明小比尺大模型对提高模型相似度并无很大帮助，加大比尺对模型试验结果并无本质影响但可显著降低模型试验的成本。

<10.5pt;font-family:宋体'>表2 水平比尺1∶200时正态及不同变态情况下的模型相似度

<10.5pt;font-family:宋体'>表3 变态率ζ=5时水平比尺与垂直比尺相应变化的模型相似度

(2)由图3可见，由于变态率较大的模型的“边界整体形状”、“压强分布”和“流速分布”相似元的相似值均有较大幅度的减少，故变态率由1增加到20时模型相似度由60.86%递减到31.52%，说明了模型的变态率愈大模型相似度愈小。

图2 水平比尺α_L对正态模型的模型相似度的影响

图3 水平比尺α_L为1∶200时模型变态率对模型相似度的影响

　　(3)保持变态率不变则模型相似度主要受几何比尺特别是垂向比尺的影响。图4的水平比尺α_L=500～100而垂向比尺α_H=100～20，由图可见水平比尺愈大模型相似度愈小，其变化范围为39.68%～44.99%；可见小比尺大模型未显著提高模型相似度。

(4)结果表明模型的变态率对模型相似度的影响远大于几何比尺对模型相似度的影响，而在几何比尺中垂向比尺的影响大于水平比尺的影响。综合上述对相似元的相似值的估算方法可以计算几何比尺任意变化的模型相似度，可用于比较和选择水工模型。

5 <宋体'>结语 

　　水工定床模型的相似性可以量化为模型相似度。模型系统与原型系统之间的相似性由十个相似元构成。模型与原型共有的相似元分别含有不同相似要素，可分为精确相似元和模糊相似元等，其相似值为特征值比例系数和相应的特征权数的乘积，各相似元的相似值之和即为模型与原型之间的相似度。由于边界的几何变态对边界整体形状、流速、压强和相应场均产生深刻的变态效应，对水工变态模型与原型相似影响最大。

图4 变态率ζ=5时水平比尺α_L对模型相似度的影响

初步研究表明对模型与原型之间的十个相似元的相似值的估算方法可以计算各种水工定床模型的相似度，对模型相似性的量化有利于模型的设计和选择。由于小比尺大模型并没有显著提高模型相似度，工程实践中宜适当多采用大比尺模型。

参 考 文 献：

[1] 惠遇甲，王桂仙.河工模型试验[M].北京：中国水利水电出版社，1999.

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[6] D Dubois,H Prade.Fuzzy sets and systems/Theory and applications[M].New York:Academic Press.Inc.1980.

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